Mempercepat Penyelesaian Banyak Sistem Linear Umum Berukuran Sangat Kecil pada GPU: Aplikasi pada Hukum Konstitutif

Banyak aplikasi ilmiah dan rekayasa memerlukan penyelesaian sejumlah besar sistem linear independen pada GPU. Meskipun solver yang dipercepat GPU sudah mapan untuk sistem kecil hingga besar, sistem berukuran sangat kecil—yang didefinisikan di sini sebagai sistem dengan dimensi di bawah 32—tetap menantang karena intensitas aritmetika yang rendah dan overhead peluncuran kernel. Tantangan ini sangat terasa dalam evaluasi hukum konstitutif, ketika jutaan titik integrasi diproses secara independen. Setiap pembaruan konstitutif biasanya bergantung pada metode iteratif Newton, dan setiap iterasi memerlukan penyelesaian presisi ganda sistem linear persegi umum berukuran sangat kecil menggunakan faktorisasi LU dengan pivoting parsial (LUpp). Penelitian ini dilakukan dalam prototipe tertutup (closed-source), yang berfungsi sebagai demonstrator untuk memindahkan ke GPU NVIDIA evaluasi hukum konstitutif yang saat ini disediakan pada CPU oleh TFEL/MFront, sebuah alat pembangkitan kode sumber terbuka untuk pengetahuan material. Penulis membandingkan beberapa solver LUpp presisi ganda, termasuk implementasi dari pustaka aljabar linear GPU (cuSolverDx, MAGMA) dan kernel CUDA yang dirancang khusus, pertama pada batch besar sistem linear mandiri dan kemudian dalam alur kerja evaluasi hukum konstitutif secara penuh. Penelitian ini bertujuan mengidentifikasi strategi penyelesaian LUpp terbaik, yang ditunjukkan bergantung pada ukuran sistem dan konteks aplikasi, serta membahas aspek kunci seperti tekanan register, okupansi, kemampuan memanggil solver LUpp langsung dari kode perangkat, dan apakah menugaskan beberapa thread untuk setiap sistem merupakan yang paling efisien.

Penelitian ini mengevaluasi beberapa solver LUpp presisi ganda untuk sistem linear berukuran sangat kecil pada GPU NVIDIA. Solver tersebut mencakup implementasi dari pustaka aljabar linear GPU (cuSolverDx dan MAGMA) dan kernel CUDA yang dirancang khusus. Perbandingan dilakukan dalam dua tahap: pertama pada batch besar sistem linear mandiri, dan kemudian dalam alur kerja evaluasi hukum konstitutif secara penuh, ketika setiap titik integrasi memerlukan rangkaian sistem linear yang berbeda, satu per iterasi dari loop Newton-nya sendiri. Kinerja setiap solver dinilai pada GPU NVIDIA H100. Faktor kunci yang dianalisis meliputi tekanan register, okupansi, kemampuan memanggil solver LUpp langsung dari kode perangkat, dan efisiensi penugasan beberapa thread per sistem. Kernel khusus dirancang untuk mengoptimalkan faktor-faktor ini bagi sistem berukuran sangat kecil. Penelitian ini juga mempertimbangkan overhead peluncuran kernel dan dampak batching. Algoritma LUpp menyelesaikan sistem linear $Ax=b$ dengan memfaktorkan $A=PLU$, dengan $P$ adalah matriks permutasi, $L$ adalah segitiga bawah, dan $U$ adalah segitiga atas, lalu menyelesaikan $Ly=Pb$ dan $Ux=y$ melalui substitusi maju dan mundur. Untuk sistem berukuran sangat kecil, langkah faktorisasi dan substitusi dilakukan dengan sinkronisasi minimal. Metrik kinerja adalah total waktu penyelesaian, dan percepatan dilaporkan relatif terhadap cuSolverDx dan MAGMA.